Varyans Analizi Kavramı Üzerine Bir İnceleme

İstatistik açısından ortalama karşılaştırması problemi çok önemli bir kavram olarak karşımıza çıkmaktadır. Ortalama karşılaştırmaları içerisinden varyans analizi yöntemini tam anlamıyla anlayabilmek için iki temel kavramı çok iyi bilmek durumundayız: Bağımlı ve bağımsız değişken.

Bağımlı değişkenden kastımız, oran veya aralıksal ölçeğe sahip nicel (sayısal) bir değişkendir. Örneğin yaş, gelir, boy, kilo, domates üretim miktarı vs. gibi değişkenler bağımlı değişkenlerdir. Bağımsız değişkenden kastedilen, adlandırma (nominal) veya sınıflama (ordinal) ölçeğe sahip nitel bir değişkendir. Bağımsız değişken, bir anlamda grup değişkenidir. Örneğin erkek bayan şeklindeki cinsiyet değişkeni, ilköğretim, lise, lisans, yüksek lisans, doktora şeklindeki eğitim durumu değişkeni vs. gibi değişkenler bağımsız değişkenlerdir. Her bağımsız değişken kendi içinde iki veya daha fazla gruba ayrılabilir. Bu anlamda, bağımsız değişken dediğimiz kavram asıl olarak nitel yapıdaki bir grup değişkenidir. Değişken kavramı üzerinde özellikle duruyorum, çünkü bu kavramlar anlaşılmadan en basit t-testini bile gerçekleştirmek olanaksızdır. Esas olan, bir araştırmacının önüne veri seti geldiğinde değişken tiplerini doğru kavramak ve bu değişkenlere göre hipotez oluşturup uygun analiz tekniğini kullanmaktır.

Varyans analizi en genel tanımı ile bağımsız değişkenin grupları arasında, bağımlı değişkenin ortalama değerlerine göre farklılıkları ölçen bir analiz yöntemidir. Bu yöntem özellikle bağımsız örneklem t-testinin aksine, en az üç gruba sahip bağımsız değişkenin kullanıldığı durumlarda uygulanır. Bu durum, birden fazla bağımsız değişkenin kullanıldığı analizlerde olmazsa olmazlardan değildir. Örneğin iki bağımsız değişken kullanıldığından bu değişkenlerden biri iki, diğeri üç gruba sahip olabilir. Ancak şu noktayı özellikle vurgulamak istiyorum, iki gruba sahip bağımsız değişkenlerde çoklu karşılaştırma testi yapılmamaktadır, çünkü arada farklılık olduğu durumda iki grup ortalamaları doğrudan karşılaştırılabilir.

 Varyans analizi kendi arasında bağımlı değişken sayısına ve yönlere göre ikiye ayrılır. Bağımlı değişken sayısına göre bir bağımlı değişkenin kullanıldığı varyans analizi, aynı şekilde varyans analizi (Analysis of Variance,ANOVA) olarak isimlendirilir. En az iki bağımlı değişkenin kullanıldığı varyans analizi (p=>2 için) çok değişkenli varyans analizi (Multivariate Analysis of Variance, MANOVA)  olarak adlandırılır. Bağımsız değişken sayısına göre bir bağımsız değişkenin kullanıldığı varyans analizi tek yönlü, en az iki bağımsız değişkenin kullanıldığı varyans analizi çift yönlü varyans analizi olarak isimlendirilir. Bu tanımlamalar oldukça basittir ve dikkatlice okunduğunda rahatlıkla anlaşılabilir. Çeşitlerine göre varyans analizi için aşağıdaki tablodan da yararlanılabilir.

Bağımlı Değişken	Bağımsız Değişken	Analiz Türü	Analiz Yönü	SPSS Menü Girişi
1	1	ANOVA	Tek Yönlü	Analyze-Compare Means-One Way Anova
En az 2	1	MANOVA	Tek Yönlü	Analyze-General Linear Model-Multivariate
1	En az 2	ANOVA	Çift Yönlü	Analyze-General Linear Model-Univariate
En az 2	En az 2	MANOVA	Çift Yönlü	Analyze-General Linear Model-Multivariate

Varyans analizi uygularken ilk yapılacak şey, verilerin normal dağılıma uygun olup olmadığını tespit etmektir. Bağımlı değişkenin değerleri gruplara göre normal dağılıyorsa, parametrik testler uygulanabilir. Aksi halde parametrik olmayan yöntemler uygulanır. Bu yazıda parametrik testler kullanılacağı için diğer yöntemler üzerinde durmayacağım.

Verilerin normal dağılıma uygunluğu tespit edildikten sonra, bağımlı ve bağımsız değişken sayıları incelenir ve buna göre uygun varyans analizi tekniği uygulanır. Eğer tek yönlü varyans analizi uygulamışsak, genel hatları ile tanımlayıcı istatistikler incelenir ve hemen ardından varyansların homojenliği varsayımına bakılır. Gruplar arası varyanslar homojense gruplar arası ortalamaların farklı olup olmadığını saptayabilmek için ANOVA tablosu, homojen değilse Welch ve Brown-Forsythe testleri uygulanır. Ortalamalar arası farklılık varsa, çoklu karşılaştırma testleri uygulanır. Varyansların homojenliği varsayımı sağlanmışsa Duncan veya Tukey testleri gibi çeşitli testler kullanılır. En küçük farklılıkları bile tespit etmek istiyorsak Duncan testi en ideal test olarak kullanılmaktadır. Eğer varyansların homojenliği varsayımı sağlanmamışsa çoklu karşılaştırmalar için Tamhane testi uygulanmalıdır. Çoklu karşılaştırmalar için genel anlamda bir fikir edinmek için Ortalama Grafiklerine (Means Plot)bakılır. Ancak kesin karar verebilmek için mutlaka testlerin gerçekleştirilmesi gerekmektedir. Çeşitli durumlara göre uygulanacak testler için aşağıdaki tablodan yararlanılabilir. Aşağıdaki tablodaki gruplar arası ortalamaların karşılaştırılması için kullanılacak testler ANOVA testleri için geçerlidir.

Varyansların Homojenlik Durumu	Gruplar Arası Ortalama Karşılaştırılması	Çoklu Karşılaştırma
Homojen	ANOVA	Duncan
Homojen Değil	Welch ve Brown-Forsythe	Tamhane

             Son olarak, varyans analizi uygulayacak olan araştırmacılar için genel anlamda kurulacak 4 hipotezi tekrar etmek pahasına söylemekte yarar görüyorum. Normallik, varyansların homojenliği, ortalamalar arası farklılık ve çoklu karşılaştırma hipotezlerini doğru biçimde kuran araştırmacılar, varyans analizini en doğru şekilde gerçekleştirirler. Gerek SPSS olsun, gerek diğer paket programlar olsun, test sonuçlarına ilişkin anlamlılık değerlerini hesaplamaktadır. % 5 önem seviyesinde bakacak olursak, 0,05’ten küçük anlamlılık değerine sahip olan testler için Ho hipotezi reddedilir, 0,05’ e eşit veya büyük hipotezler için Ho hipotezi reddedilemez. Bu kurala göre bütün mesele, hipotezlerin önem seviyelerine göre reddedilip reddedilemeyeceklerini tespit etmektir. Hipotezleri aşağıda tabloda tek tek belirteceğim. Tablonun alt kısmında ayrıca çalışma verileri de bulunmaktadır.

Normallik Varsayımı

Ho: Veriler normal dağılıma uygundur.

Hı: Veriler normal dağılıma uygun değildir.

Varyansların Homojenliği

Ho: Gruplar arası varyanslar homojendir

Hı: Gruplar arası varyanslar homojen değildir.

Gruplar Arası Ortalamaların Farklılığı

Ho: Gruplar arası ortalamalar arasında fark yoktur.

Hı: En az iki grup ortalaması arasında fark vardır.

Çoklu Karşılaştırma (İkili Karşılaştırmalar İçin)

Ho: İki grup ortalaması arasında fark yoktur.

Hı: İki grup ortalaması arasında fark vardır.

 https://rapidshare.com/#!download|215p6|3652320723|TEK_YÖNLÜ_ANOVA_ÇALIŞMA_VERİSİ.rar|75

https://rapidshare.com/files/1326368171/ÇİFT_YÖNLÜ_ANOVA_ÇALIŞMA_VERİSİ.rar

SPSS Programı ile RFM Analizi

RFM (Recency, Frequency and Monetary) analizi, piyasaya sunulacak yeni önerilere karşılık vermesi muhtemel hedef müşteri kitlesini belirlemek için kullanılacak bir analiz yöntemidir. Bu analiz Yakınlık, Frekans ve Parasallık analizi olarak adlandırılabilir. RFM analizi müşterilerin geçmişte yapmış oldukları alışveriş tarihinin yakınlığına, yapmış oldukları alışveriş miktarına ve harcama tutarına göre müşterilerin olası satın alma eğilimlerini belirler.

Yakınlık, (Recency)   müşterilerin ne kadar yakın tarihte alışveriş yaptıklarını belirtir. Yakınlık ölçütü RFM analizi için en temel etkendir. Frekans, (Frequency) müşterilerin yaptıkları alışveriş miktarını gösterir.Parasallık (Monetary) müşterilerin yaptıkları harcama tutarını ifade eder. Bu üç etkenin kullanılması ile bir RFM skoru hesaplanır. RFM skoru için yakınlık, frekans ve parasallık skoru oluşturulur. Yakınlık Skoru*100+Frekans Skoru*10+Parasallık Skoru formülü kullanılarak RFM skoru hesaplanır. Bu formülden de anlaşılacağı gibi RFM analizinde en önem sırasına göre etkenler yakınlık, frekans ve parasallıktır. RFM skorunun büyüklüğüne göre müşterinin sunulacak yeniliklere karşı göstereceği eğilim tespit edilir. RFM skorunun büyük olması müşterinin yeniliklere daha açık olduğunu ve daha yüksek satın alma eğiliminde olduğunu gösterir.

RFM analizi piyasaya yeni katılan müşterilere özel öneriler sunmak için kullanılabilir. Bu analiz ayrıca düşük satın alma eğilimindeki müşterilere yönelik kampanya ve pazarlama girişimlerini teşvik etmek için uygulanabilir. RFM analizi belirli müşteri grupları için veya tekil olarak müşteriler için kullanılabilir. Müşteri grupları için Transaction Data, tekil müşteriler için Customer Data komutları kullanılarak analiz gerçekleştirilebilir.

Aşağıda RFM analizine ilişkin bir uygulama gösterilmektedir. Müşterilerin eğitim durumları, en yakın zamanda yapmış oldukları alışveriş tarihi ve müşterilere yapılan satış miktarı adet olarak gösterilmektedir.

RFM analizi uygulanarak müşterilere ait yakınlık, frekans ve parasallık skoru oluşturulmuştur. Bu üç skordan yararlanılarak RFM skoru elde edilmiştir. Aşağıdaki tablodaki sonuçlara göre RFM skoru en yüksek olan lise mezunları, piyasaya sunulacak yeni önerilere karşılık vermeye en eğilimli grup olarak tespit edilmiştir. RFM skorlarına göre lise mezunlarını sırasıyla lisans üzeri, lisans ve ilköğretim mezunları izlemektedir. 

Yukarıdaki örnekte de görüldüğü gibi her çeşit müşteri grubu için RFM analizi gerçekleştirilebilir. Bunun için eğitim yerine cinsiyet, medeni durum, gelir düzeyi vs. gibi çeşitli değişkenler kullanılarak müşterilerin eğilimleri tespit edilebilir.

ÇOKLU DOĞRUSALLIK SORUNUN TESPİTİNE İLİŞKİN SPSS VE R PROJECT UYGULAMALARI

Çoklu doğrusal regresyon analizinde amaç, bağımsız değişkenlerin bağımlı değişken üzerindeki etkilerini ayrı ayrı ölçmektir. Ancak bağımsız değişkenler arasındaki doğrusal veya doğrusala yakın yakın bir ilişki olması durumunda her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki kısmi etkileri kestirilemez. Bağımsız değişkenler birbirlerini etkilediği için, ortak bir etki söz konusu olacaktır. Çoklu doğrusallık terimi, iki veya daha fazla bağımsız değişken arasındaki doğrusala yakın ilişkiyi temsil etmek için kullanılmaktadır.

Çoklu doğrusallık sorununun tespit edilmesi için çeşitli sezgisel ve sayısal metotlar kullanılmaktadır. Ç.D (çoklu doğrusallık) tespiti için öncelikle bağımsız değişkenler arasındaki korelasyon değerleri incelenmelidir. Korelasyon değerlerinin 0,90’dan büyük olması durumunda Ç.D varlığından şüphe edilmelidir.  İkiden fazla değişken için çiftler arasındaki korelasyonlara ilişkin çeşitli eşik değerleri bulunmaktadır.

	P=3 değişken için	P=6 değişken için
r (Korelasyon katsayısı)	r≥0,9325 veya r≤-0,4825	r≥0,9164 veya r≤-0,1964

Pozitif korelasyonun negatif korelasyona göre daha yüksek eşik değerleri taşıdığı için gerçekleşme koşulunun nispeten zor olduğu söylenebilir. Ancak negatif korelasyona ilişkin alt sınır değerleri  -1/(p-1) formülü ile hesaplandığı için, alt sınır koşulu negatif korelasyon için sıkıntı oluşturmaktadır. Örneğin p=3 için alt sınır -0,50 , p=6 için alt sınır -0,20 olmaktadır. Bu sezgisel yöntem, ikiden fazla bağımsız değişken bulunması durumunda tek başına yeterli olmayacaktır. 

Bir diğer sezgisel yöntem de β tahmincilerine ilişkin t istatistiklerinin ve varyans değerlerinin incelenmesidir. Ç.D’ nin meydana geldiği durumlarda düşük değerli t istatistikleri ve yüksek değerli varyans değerleri gözlenmektedir. β tahmincilerinin varyans değerleri son derece yüksek olduğu için, tahmine ilişkin güven aralığı da genişleyecektir. Bu durumda düşük t istatistiği, yüksek standart hata ve geniş güven aralıklarına bakılarak Ç.D sorununun var olduğu söylenebilir.

Ç.D sorununun varlığını tespit etmek için kullanılan sayısal yöntemler de mevcuttur. Bunlardan birisi, yan regresyon olarak adlandırabileceğimiz bağımsız değişkenlerin kendi aralarındaki regresyon denklemlerinin incelenmesidir. Her bağımsız değişken bağımlı değişkenmiş gibi diğer bağımsız değişkenlerle ayrı ayrı regresyon işlemine tabi tutulur ve her denkleme ilişkin R^2 değerleri hesaplanır. F ile R^2 değerleri arasındaki ilişkiden yararlanılarak Ri değeri hesaplanır. F dağılımına uygunluk gösteren bu değer ve F tablo değeri karşılaştırılır. Ri değeri anlamlı ise, ilgili bağımsız değişkenin diğer bağımsız değişkenlerle doğrusal bir yapı içinde olduğuna karar verilir.

 Çeşitli sayısal yöntemlerin yanısıra, günümüzde Ç.D sorununu tespit edebilmek için kullanılan üç temel yöntem mevcuttur:

1.       VIF Değeri (Varyans Şişirme Çarpanı)

2.       Tolerans Değeri

3.       CI Koşul Endeksi

VIF değeri Marquardt (1970) tarafından önerilmiştir. VIF değeri, tıpkı yan regresyonda olduğu gibi her bağımsız değişkenin diğerleri ile ayrı ayrı regresyon işlemi gerçekleştirilmesi sonucu hesaplanan R^2 değerleri kullanılarak elde edilir. Her bağımsız değişkene ait VIF değerleri ayrı ayrı hesaplanarak hangi değişken veya değişkenlerin Ç.D sorununa yol açtığı tespit edilebilir. İlgili bağımsız değişken diğerleri ile ilişkili derecesi arttıkça VIF değeri yükselecektir. Tam ilişki durumunda VIF değeri ∞, ilişki olmadığı durumda VIF değeri 1 olacaktır.  Tolerans değeri, kurulan regresyon denkleminden elde edilen R^2 değerleri kullanılarak 1- R^2 şeklinde her bağımsız değişken için hesaplanmaktadır. Tolerans değeri, diğer tahminciler dikkate alındığında elimizdeki tahminciye ilişkin varyans yüzdesinin gösterimidir. CI koşul endeksi, maksimum özdeğerin değişkene ilişkin özdeğere bölümünün karekökü alınarak hesaplanır.

VIF ve Tolerans değerlerine bakacak olursak, 10 ve üzeri VIF değeri ve 0,10’dan küçük Tolerans değeri için Ç.D’ nin var olduğu söylenebilir. CI koşul indeksi 15’in üzerinde olduğunda çoklu doğrusallığın orta düzeyde sorun oluşturduğu söylenebilir. Ancak CI koşul indeksi 30 ve üzeri değerler aldığında Ç.D’nin yüksek derecede sorun oluşturduğu kabul edilir. Bu yöntemlerin haricinde varyans-kovaryans Σ matrisinin özdeğerlerine bakılarak Ç.D sorunu tespit edilebilir.  Σ matrisinin 1’den fazla özdeğeri 0’a yakın değer alıyor ise, Ç.D’ nin var olduğu belirtilir.

Ç.D’ nin tespitine ilişkin kullanılan yöntemler çeşitli bilgisayar programları aracılığı ile uygulanabilmektedir. SPSS ve R Project programına ilişkin çeşitli uygulamalar, elimde var olan çeşitli veri setleri kullanılarak gerçekleştirilmiştir.

R PROJECT UYGULAMASI

# VIF değerleri

tahmin<-lm(stack.loss~Acid.Conc.+Air.Flow+Water.Temp, data=stackloss)

tahmin

v<-vif(tahmin)

Acid.Conc.	Air.Flow	Water.Temp
1.333.587	2.906.484	2.572.632

SPSS UYGULAMASI

GET

  FILE='D:\C\Desktop\iSTATİSTİK\SPSS\VERİ\veri.sav'.

REGRESSION

  /DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N

  /MISSING LISTWISE

  /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA COLLIN TOL CHANGE ZPP

  /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)

  /NOORIGIN

  /DEPENDENT Y1

  /METHOD=ENTER X1 X2 X3 X4.

	Collinearity Statistics
	Tolerance	VIF
Constant
X1	,388	2,575
X2	,355	2,815
X3	,212	4,712
X4	,215	4,654
X5	,650	1,539

Collinearity Diagnosticsa
Model	Dimension	Eigenvalue	Condition Index	Variance Proportions
				(Constant)	X1	X2	X3	X4	X5
1	1	5,849	1,000	,00	,00	,00	,00	,00	,00
	2	,095	7,839	,00	,02	,01	,15	,00	,03
	3	,026	14,910	,05	,15	,02	,09	,02	,00
	4	,021	16,825	,01	,16	,02	,01	,00	,92
	5	,007	28,182	,00	,67	,94	,00	,00	,04
	6	,001	67,174	,94	,00	,02	,75	,98	,00